##### σ-代数 - σ-代数 - **σ-代数**是一个集合上性质良好的[[集合族|子集族]], 规定了哪些子集可以被测量或讨论, 也就是[[可测集]]的集合, 带有σ-代数的集合称为[[可测空间]]. 设 $X$ 是一个集合, $\mathcal{A}$ 是 $X$ 的子集族, 则称 $\mathcal{A}$ 是 $X$ 上的一个σ-代数 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$, 如果它满足以下三个条件 - 包含全集, $X\in \mathcal{A}$, 即全集必须属于σ-代数 - [[补集]]封闭, $\overline{B}∈\mathcal{A}$, 即集合及其补集同时属于σ-代数 - [[并集|可数并]]封闭, $\displaystyle\bigcup^\infty_{i=1}B_i\in \mathcal{A}$, 即可数个集合的并属于σ-代数 >[!example]- σ-代数 > - 平凡σ-代数 > - $\mathcal{F} = \{\emptyset, X\}$ , 平凡σ-代数是最小的σ-代数, 只包含空集和全集 > - 离散σ-代数 > - $\mathcal{F} = \mathcal{P}(X)$ , 离散σ-代数是最大的σ-代数, 是[[幂集]] > - 博雷尔σ-代数 > - $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ , 博雷尔σ-代数是[[拓扑空间]]中开集生成的最小σ-代数, 是[[博雷尔集]]的集合 > - 勒贝格σ-代数 > - $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ , 勒贝格σ-代数, 是[[勒贝格可测集]]的集合