##### 一致收敛 - 一致收敛 - **一致收敛**是函数序列的[[函数序列极限|极限]]或[[函数项级数|级数]]上比逐点收敛更强的收敛形式, 要求定义域内任意点的收敛速度都相同, 可通过[[迪尼定理]], [[魏尔施特拉斯判别法]]判断. 一致极限保持函数的[[连续函数|连续性]], 可以与[[积分]]和[[导数]]交换, 具有[[魏尔施特拉斯逼近定理]]. 设定义在集合 $X$ 上的函数序列 $\{f_n(x)\}$, 如果存在一个函数 $f(x)$, 使得对于任意 $\epsilon > 0$, 存在正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时, 对所有 $x \in X$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$, 则称 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛于 $f(x)$, 并记作 $\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ - $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in X} |f_n(x) - f(x)| = 0$ - 保持连续 - 设 $f_n$ 在 $X$ 上是连续的, 且 $\{f_n\}$ 在 $X$ 上一致收敛到 $f$, 则一致极限函数 $f$ 在 $X$ 上也是连续的 - 积分交换 - 设 $f_n$ 在 $X$ 上是可积的, 且 $\{f_n\}$ 在 $X$ 上一致收敛到可积函数 $f$, 则序列的积分和一致极限可以交换, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx.$ - 导数交换 - 设 $f_n$ 在 $X$ 上是可微的, 且 $\{f'_n\}$ 在 $X$ 上一致收敛到 $g$, 且存在一点 $x_0 \in X$ 使得 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛, 则 $\{f_n\}$ 一致收敛到可微函数 $f$, 且 $f' = g$, 即导数和一致极限可以交换, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n'(x) = f'(x)$