##### 三角函数基本公式 - 三角函数基本公式 - **三角函数基本公式**是关于[[三角函数]]的一组基本等式关系, 用于化简三角函数, 包括角的和差公式, 倍角, 半角, 积化和差, 和差化积等. 最基础的是诱导公式, 核心思想是任何角度的三角函数值都可以诱导到一个锐角即第一象限的角上去计算 $(\frac{k\pi}{2}\pm\alpha)$, 即奇变偶不变,符号看象限, 当角度加减 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍 $k$ 时, 三角函数正余互变, 如果是偶数倍, 则函数不变, 确定变换后的函数时, 将 $\alpha$ 视为锐角, 根据原角度所在的象限判断变换后函数的正负号, 一全正二正弦三正切四余弦 - 和差公式 - $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$ - $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$ - $\displaystyle\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b}$ - 倍角公式 (相同角和) - $\sin 2x=2\sin x\cos x$ - $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1$ - $\displaystyle \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$ - $\displaystyle \cot 2x=\frac{\cot^2x-1}{2\cot x}$ - 半角公式 ($\cos 2x$) - $\displaystyle\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos x}{2}$ - $\displaystyle\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$ - $\displaystyle\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ - 积化和差 (和差公式加减) - $\displaystyle\sin\alpha\cos\beta={\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\over2}$ - $\displaystyle\cos\alpha\sin\beta={\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\over2}$ - $\displaystyle\cos\alpha\cos\beta={\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\over2}$ - $\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=-{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\over2}$ - 和差化积 (积化和差互换) - $\displaystyle\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ - $\displaystyle\sin\alpha-\sin\beta=2\cos{\alpha+\beta\over2}\sin{\alpha-\beta\over2}$ - $\displaystyle\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ - $\displaystyle\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin{\alpha+\beta\over2}\sin{\alpha-\beta\over2}$ - 万能公式 - 若 $\mu=\tan\frac{x}{2},\ (-\pi<x<\pi)$ - $\displaystyle\sin x=\frac{2\mu}{1+\mu^2}$ - $\displaystyle\cos x=\frac{1-\mu^2}{1+\mu^2}$