##### 上下极限 - 上下极限 - **上下极限**是描述[[序列]]收敛行为的对象, 可以大致想像为[[序列极限]]的上下[[确界]] - 实数序列 - 实数序列上极限是序列在无穷远处的最大聚集值 - $\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}=\lim_{n\to\infty}\sup\{a_k\mid k\geq n\}$ - 实数序列下极限是序列在无穷远处的最小聚集值 - $\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}=\lim_{n\to\infty}\inf\{a_k\mid k\geq n\}$ - 函数序列 - 函数序列上极限是序列在无穷远处的逐点最大聚集值 - $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \sup \{f_k(x) \mid k \geq n\}$ - 函数序列下极限是序列在无穷远处的逐点最小聚集值 - $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \inf \{f_k(x) \mid k \geq n\}$ - 集合序列 - 集合序列上极限由最终永远不会永远离开的元素组成, 先考虑从 $n$ 开始的集合并集 $\displaystyle\bigcup^{\infty}_{k=n}A_{k}$, 然后求所有这些并集的交集 - $\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap^{\infty}_{n=1}\bigcup^{\infty}_{k=n}A_{k}$ - 集合序列下极限由最终永远保留的元素组成, 先考虑从 $n$ 开始的集合交集 $\displaystyle\bigcap^{\infty}_{k=n}A_{k}$, 然后求所有这些交集的并集 - $\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup^{\infty}_{n=1}\bigcap^{\infty}_{k=n}A_{k}$