##### 不变子空间 - 不变子空间 - **不变子空间**是指对于一个[[线性算子]]保持不变的[[子空间]]. 设线性算子 $T: V \to V$, 如果 $T$ 使得子空间 $U\subseteq V$ 中的每一个向量 $\mathbf{u}$ 映射到其本身 $T\mathbf{u}\in U$ , 则称 $U$ 是 $T$ 下的不变子空间, 并且用符号 $T|_U$ 表示将算子 $T$ [[限制映射|限制]]在 $U$ 上, 即 $T|_U:U\to U$, 依然是一个线性算子 - 平凡子空间 $\{\mathbf{0}\}$ 在 $T$ 下不变 - $\mathbf{u}\in\{\mathbf{0}\}$, $T\mathbf{u}\in \{\mathbf{0}\}$ - 平凡子空间 $V$ 在 $T$ 下不变 - $\mathbf{u}\in V$, $T\mathbf{u}\in V$ - 零空间 $\text{null}\ T$ 在 $T$ 下不变, 有[[零空间]], [[左零空间]] - $\mathbf{u}\in \text{null}\ T$, $T\mathbf{u}\in \text{null}\ T$ - 值域 $\text{range}\ T$ 在 $T$ 下不变, 有[[列空间]], [[行空间]] - $\mathbf{u}\in \text{range}\ T$, $T\mathbf{u}\in \text{range}\ T$ - [[特征空间]] $E(\lambda, T)$ 在 $T$ 下不变 - $E(\lambda,T)=\{\mathbf{v}\mid T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} ,\mathbf{v}\in V\}$ - [[广义特征空间]] $G(\lambda, T)$ 在 $T$ 下不变 - $G(\lambda,T)=\{\mathbf{v}\mid (T-\lambda I)^k\mathbf{v}=\mathbf{0} ,\mathbf{v}\in V, k\in\mathbb{N}\}$