##### 二次型 - 二次型 - **二次型** $q$ 是以[[域|数域]] $\mathbb{K}$ 的元素为系数的 $n$ 元[[多项式|二次齐次多项式]], 每一项变量次数和为 $2$. 具体来说**实二次型**可定义为[[双线性型|对称双线性型]] $q(\mathbf{x})=B(\mathbf{x},\mathbf{x})$, **复二次型**可定义为[[埃尔米特型]] $q(\mathbf{x})=H(\mathbf{x},\mathbf{x})$. 二次型的[[二次型的矩阵|矩阵]]是对称矩阵或埃尔米特矩阵. 可化为[[二次型的标准形|标准形]], 有[[二次型的分类]]. 对二次型的研究源于[[解析几何]]中的[[二次曲线]] $q(x_1, x_2)$ 以及[[二次曲面]] $q(x_1, x_2, x_3)$ - $\displaystyle q(\mathbf{x})=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}a_{ij}x_ix_j=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ , $a_{ij}=a_{ji}$ - $\displaystyle q(\mathbf{x})=B(\mathbf{x},\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n B(e_i, e_j)x_i x_j =\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ , $B(e_i, e_j)=B(e_j, e_i)$ - 例如 - $q(x_1) = a_{11} x_1^2$ - $q(x_1, x_2) = a_{11} x_1^2 + 2a_{12} x_1 x_2 + a_{22} x_2^2$ - $q(x_1, x_2, x_3) = a_{11} x_1^2 + 2a_{12} x_1 x_2 + 2a_{13} x_1 x_3 + a_{22} x_2^2 + 2a_{23} x_2 x_3 + a_{33} x_3^2$ >[!example]- 二次型 >- $q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 + 5x_1x_3 + 6x_2x_3$ > - $q(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2.5 \\ 2 & 2 & 3 \\ 2.5 & 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ >- $q(x, y) = x^2 + 2y^2$ > - $q(x, y) = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$