##### 二次型的分类 - 二次型的分类 - **二次型的分类**是对[[二次型]]系数矩阵 $A$ 进行[[特征值和特征向量|特征值]]分类, 即[[定性矩阵]], 实二次型与[[解析几何]]中[[二次曲线]]以及[[二次曲面]]的分类相关 - 正定二次型, $A$ 为正定矩阵, 如果对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$, 有 $q(\mathbf{x})>0$ - 当且仅当 $A$ 的所有特征值 $\lambda>0$ - 半正定的二次型, $A$ 为半正定矩阵, 如果对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$, 有 $q(\mathbf{x})\geq0$ - 当且仅当 $A$ 的所有特征值 $\lambda\geq0$ - 负定二次型, $A$ 为负定矩阵, 如果对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$, 有 $q(\mathbf{x})<0$ - 当且仅当 $A$ 的所有特征值 $\lambda<0$ - 半负定二次型, $A$ 为半负定矩阵, 如果对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$, 有 $q(\mathbf{x})\leq0$ - 当且仅当 $A$ 的所有特征值 $\lambda\leq0$ - 不定二次型, $A$ 为不定矩阵, 既有 $q(\mathbf{x})>0$, 又有 $q(\mathbf{x})<0$ - 当且仅当 $A$ 的所有特征值 $\lambda>0$, 又有 $\lambda<0$