##### 二次型的变量代换 - 二次型的变量代换 - **二次型的变量代换**将一个复杂的[[二次型]]转化为一个[[二次型的标准形|标准型]]. 因为二次型的[[二次型的矩阵|矩阵]]是对称矩阵, 所以可以[[可正交对角化矩阵|正交对角化]] $P^{T}AP=D$, 这也意味着二次型及其标准型是[[矩阵合同]]的 - $q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$, $A^T=A$ - 用 $A$ 的特征向量构造正交矩阵 $P$ 作为过渡矩阵 $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ - $q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=(P\mathbf{y})^TA(P\mathbf{y})=\mathbf{y}^T(P^TAP)\mathbf{y}=\mathbf{y}^T(P^{-1}AP)\mathbf{y}=\mathbf{y}^T D\mathbf{y}$ - 用 $A$ 特征值构造对角矩阵 $D$ - $q(\mathbf{y})=\mathbf{y}^TD\mathbf{y}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$ - $q(\mathbf{y})=\begin{bmatrix} y_1&y_2&\cdots& y_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots\\ y_n\end{bmatrix}$