##### **二次型的标准形** - 二次型的标准形 - **标准形**是只含有变量平方项的[[二次型]], 一般的二次型可以通过[[二次型的变量代换|变量代换]]转化为标准形, 惯性数指的是其正特征值, 负特征值和零特征值的数量, 特征值也是变量平方项系数. 二次型和其标准形是双线性型的[[矩阵合同]], **规范形**是在标准形的基础上, 对平方项系数进一步归一化只取 $1$, $-1$ 或 $0$, 求二次型的规范形也就是求它的惯性指数, 正平方项或正特征值的个数 $n$ 为正惯性指数, 负平方项或负特征值的个数 $m$ 为负惯性指数, 零特征值的个数为零惯性指数 - $q(\mathbf{x})=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\cdots+\lambda_nx_n^2$ - $q(\mathbf{x})=\begin{bmatrix} x_1&x_2&\cdots& x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$ - $q(\mathbf{x})=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-x_{n+1}^2-\cdots-x_{n+m}^2$