##### 二次型的矩阵 - 二次型的矩阵 - **二次型的矩阵**是[[对称矩阵]]或[[埃尔米特矩阵]]. 设[[二次型]] $\displaystyle q(\mathbf{x})$, 则由定义可化为双线性型 $q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ 或埃尔米特型 $q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^*A\mathbf{x}$ , 二次型的矩阵就是系数矩阵 $A$ 也是对称矩阵或埃尔米特矩阵, 二次型的秩就是 $A$ 的秩 - $q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ , $A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$ - $q(\mathbf{x})=\begin{bmatrix} x_1&x_2&\cdots& x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$ >[!example]- 二次型的矩阵 >- $q(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}x_1x_2$