##### 二次曲线分类 - 二次曲线分类 - **二次曲线分类**是根据[[二次曲线]]的[[二次曲线方程|一般方程]]及其不变量分类的, 有 $9$ 种标准类型, 包括非退化和退化以及虚实情况. 非退化曲线在几何上是完整的, 标准的圆锥曲线形状, 而退化曲线是一些特殊交法所形成的简化结果. 实曲线表示曲线在实数域中存在, 可以画在坐标平面上, 虚曲线表示曲线在实数域中没有任何解, 所有解都是复数, 无法在实数坐标系里画出它 - $ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2fy + g = 0$ - $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & d \\ b & c & f \\ d & f & g \\ \end{vmatrix}$, 判断退化曲线 - $J = \begin{vmatrix} a & b \\ b & c \\ \end{vmatrix} = ac - b^2$, 判断曲线类型 - $\displaystyle\frac{\Delta}{I}=​\frac{\Delta}{a+c}$, 判断实椭圆和虚椭圆 - $K = \begin{vmatrix} a & d \\ d & g \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c & f \\ f & g \\ \end{vmatrix} = ag - d^2 + cg - f^2 \tag{5}$, 判断重合直线和平行直线 | **曲线类型** | 示例 | $\Delta$ | $J$ | $\Delta /I$ | $K$ | | --------- | ------------------- | -------- | ---- | ----------- | ---- | | 重合直线 | $(x - y)^2 = 0$ | $=0$ | $=0$ | | $=0$ | | 椭圆（虚） | $x^2 + y^2 + 1 = 0$ | $\neq 0$ | gt;0$ | gt;0$ | | | [[椭圆]]（实） | $x^2 + y^2 - 1= 0$ | $\neq 0$ | gt;0$ | lt;0$ | | | [[双曲线]] | $x^2 - y^2 - 1= 0$ | $\neq 0$ | lt;0$ | | | | 相交直线（虚） | $x^2 + y^2 = 0$ | $=0$ | gt;0$ | | | | 相交直线（实） | $x^2 - y^2 = 0$ | $=0$ | lt;0$ | | | | [[抛物线]] | $x^2- 2y = 0$ | $\neq 0$ | $=0$ | | | | 平行直线（虚） | $x^2+1=0$ | $=0$ | $=0$ | | gt;0$ | | 平行直线（实） | $x^2-1=0$ | $=0$ | $=0$ | | lt;0$ |