##### 二次曲面分类 - 二次曲面分类 - **二次曲面分类**是根据[[二次曲面]]的[[二次曲面方程|一般方程]]及其不变量分类的, 有 $17$ 种标准类型, 包括非退化和退化以及虚实情况. 非退化曲面在几何上是完整的, 标准的圆锥曲面形状, 而退化曲面是一些特殊交法所形成的简化结果. 实曲面表示曲面在实数域中存在, 可以画在坐标空间上, 虚曲面表示曲面在实数域中没有任何解, 所有解都是复数, 无法在实数坐标系里画出它 - $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy + 2px + 2qy + 2rz + d = 0$ - $\rho_3 = \text{rank} (\begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix})$ - $\rho_4 = \text{rank} (\begin{bmatrix} a & h & g & p \\ h & b & f & q \\ g & f & c & r \\ p & q & r & d \end{bmatrix})$ - $\Delta = \det(\begin{bmatrix} a & h & g & p \\ h & b & f & q \\ g & f & c & r \\ p & q & r & d \end{bmatrix})$ - $\left| \begin{matrix} a - x & h & g \\ h & b - x & f \\ g & f & c - x \end{matrix} \right| = 0$, 根记为 $k_1, k_2, k_3$ - $k = \begin{cases} 1 & \text{如果所有非零的特征根符号相同} \\ 0 & \text{否则} \end{cases}$ | 曲面类型 | 方程 | $\rho_3$ | $\rho_4$ | $\text{sgn}(\Delta)$ | $k$ | | -------------- | ---------------------------------------------------------- | -------- | -------- | -------------------- | --- | | 重合平面 | $x^2 = 0$ | 1 | 1 | | | | 椭球面（虚） | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = -1$ | 3 | 4 | $+$ | 1 | | [[椭球面]]（实） | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ | 3 | 4 | $-$ | 1 | | 椭圆锥面（虚） | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0$ | 3 | 3 | | 1 | | [[椭圆锥面]]（实） | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ | 3 | 3 | | 0 | | 椭圆柱面（虚） | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ | 2 | 3 | | 1 | | [[椭圆柱面]]（实） | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | 2 | 3 | | 1 | | [[抛物面\|椭圆抛物面]] | $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ | 2 | 4 | $-$ | 1 | | [[双曲柱面]] | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ | 2 | 3 | | 0 | | [[抛物面\|双曲抛物面]] | $z = \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}$ | 2 | 4 | $+$ | 0 | | [[双曲面\|单叶双曲面]] | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ | 3 | 4 | $+$ | 0 | | [[双曲面\|双叶双曲面]] | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$ | 3 | 4 | $-$ | 0 | | 相交平面（虚） | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$ | 2 | 2 | | 1 | | 相交平面（实） | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ | 2 | 2 | | 0 | | [[抛物柱面]] | $x^2 + 2rz = 0$ | 1 | 3 | | | | 平行平面（虚） | $x^2 = -a^2$ | 1 | 2 | | | | 平行平面（实） | $x^2 = a^2$ | 1 | 2 | | |