##### 交换环 - 交换环 - **交换环**是额外满足乘法交换律的[[环]], 交换环中[[环理想|左右理想]]自动一致, 所以可以构造[[商环]]. 如果交换环额外满足乘法单位元并且没有零因子则为[[整环]] - $(R,+)$ 是一个[[交换群]], 满足[[结合律]], [[交换律]], [[单位元]], [[逆元]] - $(R,\cdot)$ 是一个[[半群|交换半群]], 满足[[结合律]], [[交换律]] - 乘法对于加法满足[[分配律]] >[!example]- 交换环 >- 模 $6$ 整数环 $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +, \cdot)$ > - 集合, $\{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}$, 其中 $[a] = \{ a + 6k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ 表示模 $6$ 的同余类 > - 加法, $[a] + [b] = [a + b]$, 模 $6$ 加法 > - 乘法, $[a] \cdot [b] = [a \cdot b]$, 模 $6$ 乘法 >- 性质 > - $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 是含幺环, 交换环, 但因存在零因子, 如 $[2] \cdot [3] = [0]$, 是非整环