##### 伪逆 - 伪逆 - **伪逆**是[[可逆算子]]以及[[可逆矩阵]]的推广, 适用于任意[[线性变换]]和[[矩阵]], 能够有效处理不方阵和非满秩矩阵的情况, 伪逆也是广义逆的一种更特殊的形式. 给定一个线性变换 $T \in L(V, W)$, 可以根据其[[列空间]]和[[行空间]]构造伪逆 $T^\dagger\in L(W,V)$, 伪逆本质就是是将线性变换 $T:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^m$ 的定义空间限制在[[行空间]], 目标空间限制在[[列空间]] $T:{\rm Row} A\rightarrow\mathbb{\rm Col} A$ 以获得一种接近的局部逆 $T^\dagger:{\rm Col} A\rightarrow\mathbb{\rm Row} A$. 其中 $P_{\text{range} \, T}$ 先将向量 $\mathbf{w}$ [[正交投影]]到 $T$ 的列空间上, 然后取逆 $(T |_ {(\text{null} T)^\perp})^{-1}$, 如果 $T$ 作用在整个定义空间可能取不了逆, 但是作用在零空间的正交补即行空间上 $T |_ {(\text{null} T)^\perp}$, 则可以取逆. 在所有使得 $T\mathbf{v}$ 尽可能接近 $\mathbf{w}$ 的向量 $\mathbf{v}\in V$ 中, 向量 $T^\dagger\mathbf{w}$ 具有最小的范数 - $T^\dagger \mathbf{w} = (T |_ {(\text{null} T)^\perp})^{-1} P_{\text{range} T} \mathbf{w}$ - $T T^\dagger T = T$, 广义逆 - $T^\dagger T T^\dagger = T^\dagger$, 逆广义逆 - $(T T^\dagger)^* = T T^\dagger$, 自共轭性 - $(T^\dagger T)^* = T^\dagger T$, 自共轭性