##### 伪逆 - 伪逆 - 给定一个[[线性变换]] $T \in L(V, W)$ , 我们可以根据其值域([[列空间]])和[[行空间]]构造**伪逆** $T^\dagger\in L(W,V)$, 伪逆本质就是是将线性变换 $T:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^m$ 的定义空间限制在[[行空间]], 目标空间限制在[[列空间]] $T:{\rm Row} A\rightarrow\mathbb{\rm Col} A$ 以获得一种接近的局部逆 $T^\dagger:{\rm Col} A\rightarrow\mathbb{\rm Row} A$. 伪逆看上去很像一般的[[线性变换|逆线性变换]]或者[[可逆算子|逆算子]], 但是适用于任意线性变换, 能够有效处理不方阵和非满秩矩阵的情况, 伪逆矩阵是矩阵不可逆时矩阵逆的推广, 伪逆也是广义逆的一种更特殊的形式 - $T^\dagger \mathbf{w} = (T |_ {(\text{null} T)^\perp})^{-1} P_{\text{range} T} \mathbf{w}$ - $P_{\text{range} \, T}$ 先将向量 $\mathbf{w}$ [[正交投影]]到 $T$ 的列空间上, 然后取逆 $(T |_ {(\text{null} T)^\perp})^{-1}$ , 如果 $T$ 作用在整个定义空间可能取不了逆, 但是作用在零空间的正交补即行空间上 $T |_ {(\text{null} T)^\perp}$, 则可以取逆 - $T T^\dagger T = T$ - $T^\dagger T T^\dagger = T^\dagger$ - $(T T^\dagger)^* = T T^\dagger$ - $(T^\dagger T)^* = T^\dagger T$ - 在所有使得 $T\mathbf{v}$ 尽可能接近 $w$ 的向量 $\mathbf{v}\in V$ 中, 向 $T^\dagger\mathbf{w}$ 量具有最小的范数