##### 伯恩赛德引理 - 伯恩赛德引理 - **伯恩赛德引理**用于计算[[群作用]]下[[群轨道]]的数量, 表示在群作用 $G$ 下的集合 $X$ 中, 群轨道的数量等于群元素不动点的平均数. [[波利亚计数定理]]进行了推广 - $\displaystyle \text{轨道数} = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |\text{Fix}(g)|$, $\text{Fix}(g) = \{ x \in X \mid g \cdot x = x \}$ >[!example]- 伯恩赛德引理 >- 设 $X = \{1, 2, 3, 4, 5 \}$ 和置换群 $G= \{(1), (1 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 5), (2 \, 5) \}$. 则 $X$ 的轨道为 $\{1, 3\}, \{2, 5\}, \{4\}$, 不动点集为 $X_{(1)} = X$, $X_{(1 \, 3)} = \{2, 4, 5 \}$, $X_{(1 \, 3)(2 \, 5)} = \{4\}$, $X_{(2 \, 5)} = \{1, 3, 4 \}$, 伯恩赛德定理指出 > - $\displaystyle k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X_g| = \frac{1}{4}(5 + 3 + 1 + 3) = 3$