##### 伴随映射 - 伴随映射 [[伴随映射的矩阵|矩阵]] - **伴随映射** $T^*$ 是定义在[[内积空间]]上的[[线性变换]], 与原变换 $T$ 具有一种对称性, 满足在[[内积]]运算中交换位置而内积保持不变. $T:V\to W$, $T^*:W\to V$, 对所有 $\mathbf{v}\in V$, $\mathbf{w}\in W$ 满足 $\langle T(\mathbf{v}),\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v},T^*(\mathbf{w})\rangle$ - $T^*:W\rightarrow V$, $\langle T(\mathbf{v}),\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v},T^*(\mathbf{w})\rangle$ $\begin{array}{ccc} V & \xleftrightharpoons[T^*]{T} & W \\ \updownarrow & & \updownarrow \\ V' & \xleftarrow{T'} & W' \end{array}$ >[!example]- 伴随映射 >- $T \in L(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2)$, $T(x_1,x_2,x_3)=(x_2+3x_3,2x_1)$ > - 设 $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3$, $(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2$ > - $\begin{align}\langle T(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2)\rangle &= \langle T(x_2+3x_3,2x_1),(y_1,y_2)\rangle\\&=x_2y_1+3x_3y_1+2x_1y_2\\&=\langle(x_1,x_2,x_3),(2y_2,y_1,3y_1)\rangle\end{align}$ > - $T^*(y_1,y_2)=(2y_2,y_1,3y_1)$ > - 设 ${R}^3$, ${R}^2$ 都为标准正交基 > - $M_T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - $M_{T^*} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ > - $M_{T^*}=M_{T}^*$