##### 伴随矩阵 - 伴随矩阵 - **伴随矩阵** $\text{adj}(A)$ 是由 $A$ 的[[行列式的子式|代数余子式]]构成的[[矩阵转置|转置矩阵]], 即在位置 $(i,j)$ 上的元素是 $A$ 位置 $(j,i)$ 上的代数余子式, 伴随矩阵可以用于求[[可逆矩阵|逆矩阵]] - $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{bmatrix}$ $\text{adj}(A)=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\\end{bmatrix}$ - $A\cdot\text{adj}(A)=\text{adj}(A)\cdot A=|A|I_n$ - $\displaystyle A^{-1}=\frac{\text{adj}(A)}{|A|}$ - $|\text{adj}(A)|=|A|^{n-1}$ - ${\rm rank}(\text{adj}(A))=\begin{cases} n&{\rm rank}A=n\\1&{\rm rank}A=n-1\\0&{\rm rank}A<n-1 \end{cases}$