##### 傅里叶展开 - 傅里叶展开 - **傅里叶展开**是指[[可积函数空间|平方可积函数]]展开成[[傅里叶级数]], 其系数是[[三角函数]]作为[[正交基]]的投影坐标, 即[[向量空间|无限维向量空间]]的[[坐标向量]]展开, 把函数投影到无限维正交基上, 傅里叶级数[[傅里叶级数收敛性|均方收敛]] - 考虑周期为 $T$ 的平方可积函数空间 $L^2([0, T])$ - $\displaystyle L^2([0, T]) = \left\{ f: [0, T] \to \mathbb{C} \mid \int_0^T |f(x)|^2 \, \mathrm{d}x < \infty \right\}$ - 归一化内积以及范数为 - $\displaystyle \langle f, g \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) \overline{g(x)} \mathrm{d}x$ - $\displaystyle \|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T |f(t)|^2 \mathrm{d}t}$ - 在该空间里, 三角函数构成一个完备正交基 - $\displaystyle \left\{ 1, \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right), \sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \mid n=1,2,3,\dots \right\}$ - 任意 $f \in L^2([0, T])$ 都可展开为 - $\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{2\pi n x}{T} \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi n x}{T} \right) \right)$ - 系数通过正交投影唯一确定 - $\displaystyle \frac{a_0}{2} = \frac{\langle f, 1 \rangle}{\|1\|^2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)\mathrm{d}x$ - $\displaystyle a_n = \frac{\langle f, \cos(\frac{2\pi n x}{T}) \rangle}{\|\cos(\frac{2\pi n x}{T})\|^2} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\mathrm{d}x$ - $\displaystyle b_n = \frac{\langle f, \sin(\frac{2\pi n x}{T}) \rangle}{\|\sin(\frac{2\pi n x}{T})\|^2} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\mathrm{d}x$ - 因为正交投影是有限维子空间上的最优逼近, 并且三角多项式在平方可积函数空间中具有稠密性, 所以在 $L^2$ 范数下, 傅里叶级数均方收敛, 平方误差趋于零 - 傅里叶部分和 $S_N(f)$ 是 $f$ 在有限维子空间 $\text{span}\{e^{inx}\}_{|n|\leq N}$ 上的最佳 $L^2$ 逼近, 即正交投影 - 希尔伯特空间完备正交基保证, 最佳逼近的误差 $\| f - S_N(f) \|_2$ 在 $N \to \infty$ 时趋于 $0$, $\displaystyle \lim_{N \to \infty}\int_0^T |S_N(x) - f(x)|^2 \mathrm{d}x = 0$