##### 傅里叶级数 - 傅里叶级数 - **傅里叶级数**是将[[周期函数]]表示为[[三角函数]]的[[线性组合]]的[[函数项级数|级数]], 通过[[欧拉公式]]也可以简化为[[指数函数|复指数函数]]线性组合的形式, 其系数通过[[正交投影]]构造, 即[[傅里叶展开]], 有多种[[傅里叶级数收敛性|收敛方式]]可通过[[傅里叶级数部分和|部分和]]分析. 傅里叶级数在非周期函数上推广为[[傅里叶变换]], 在[[希尔伯特空间]]上推广为[[广义傅里叶级数]] - $\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{2\pi n x}{T} \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi n x}{T} \right) \right)$ - $\displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\mathrm{d}x$ - $\displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\mathrm{d}x$ - $\displaystyle a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)\mathrm{d}x$ - $\displaystyle f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{2\pi n x}{T}}$ - $\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) e^{-i \frac{2\pi n x}{T}} \mathrm{d}x$