##### 傅里叶级数部分和 - 傅里叶级数部分和 - **傅里叶级数部分和**的[[卷积]]形式是[[傅里叶级数]]收敛分析的基础, 其中核函数将级数求和过程转化为积分形式也决定了卷积的加权方式, 狄利克雷核是最原始直接的核, 费耶核通过切萨罗均值提供一致收敛, 泊松核联系调和函数和复分析. 设周期为 $2\pi$ 的可积函数 $f(x) \in L^1([-\pi, \pi])$, 则可定义傅里叶级数, 部分和 $S_N(f)$ 是傅里叶级数的前 $N$ 项和, 可以表示为函数 $f$ 与某个核 $K_N$ 的卷积 - $\displaystyle f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n x}$, $\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-i n x} \mathrm{d}x$ - $\displaystyle S_N(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{i n x}$ - $\displaystyle S_N(x) = (f * K_N)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y) K_N(x-y) \mathrm{d}y$ - 狄利克雷核 $\displaystyle D_N(x) = \sum_{n=-N}^{N} e^{i n x} = \frac{\sin((N+1/2)x)}{\sin(x/2)}$ - 费耶核 $\displaystyle F_N(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N D_k(x) = \frac{1}{N+1}\left(\frac{\sin\!\big(\tfrac{N+1}{2}x\big)}{\sin(x/2)}\right)^2$ - 泊松核 $\displaystyle P_r(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{i n x} = \frac{1-r^2}{1-2r \cos x + r^2}$