##### 全微分 - 全微分 - **全微分**是对[[实函数|多元函数]]在任意方向变化量的线性近似, 是一元函数[[微分]]的推广, 如果与自变量变化量比值存在, 则等于[[方向导数]]. 全微分是可微函数所有自变量的变化引起的函数值的总变化, 如果只有一个变化就是[[偏微分]], 全微分通过所有偏导数加权相应变量的变化量来计算, 即[[梯度]]对自变量微分的[[线性变换]]. 设多元函数 $y=f(\mathbf{x})$, $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$, 则 $f$ 在点 $\mathbf{x}_0$ 处若存在一个局部线性映射 $L:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, 使得 $f(\mathbf{x}_0 + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0) = L(\Delta \mathbf{x}) + o(\|\Delta \mathbf{x}\|)$, $\Delta \mathbf{x} \to 0$, 则称 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$ 处可微, 且称 $\mathrm{d}f(\mathbf{x}_0) = L(\mathrm{d}\mathbf{x})$ 为 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$ 的全微分 - $\displaystyle \mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm{d}x_i = \nabla f \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}$ - $\displaystyle{\rm d}f=D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})\cdot h$, $\mathrm{d}\mathbf{x} = h \mathbf{v}$ - ![[opentext_数学_全微分.png|400]]