##### 内积 - 内积 - **内积**是定义在[[向量空间]] $V$ 上的[[运算|二元运算]] $\langle \cdot ,\cdot \rangle:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$ , 使之成为[[内积空间]]. 具体来说[[实数内积]]是双线性型, [[复数内积]]是埃尔米特型. 一般通过矩阵计算内积是在[[正交基|标准正交基]]上进行. 对 $\mathbf{u}, \mathbf{v},\mathbf{w}\in V$, $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ , 存在一个数 $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$ 满足下面公理. 内积可导出[[范数]]和[[度量]] - $\langle \alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=\alpha\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+\beta\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle$ - $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\overline{\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle}$ - $\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle\geq0\land\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle=0\leftrightarrow\mathbf{u}=\mathbf{0}$ - 序列向量构成的向量空间 $\mathbb{F}^n$ - $\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=\mathbf{b}^T\mathbf{a}$ - $\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + \cdots + a_n \overline{b_n}=\mathbf{b}^*\mathbf{a}$ - $\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=||\mathbf{a}||\cdot||\mathbf{b}||\cdot \cos(\theta)$ - 连续函数构成的向量空间 $C[a,b]$ - $\displaystyle\langle f,g\rangle=\int^{b}_{a}f(x)\overline{g(x)}{\rm d}x$