##### 几何变换 - 几何变换 - **几何变换**是指对平面或空间中的[[几何向量]]或[[几何图形]]进行的操作, 可以通过[[坐标变换]]表达, 这些操作改变对象的位置, 方向或形状, 例如旋转, 平移, 缩放, 反射等. 几何变换是一个宽泛的分类概念, 需要进一步严格细分 - [[欧氏变换]] - [[仿射变换]] - [[射影变换]] >[!example]- 线性几何变换 > - 旋转, 围绕原点按照一定角度旋转 > - $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ > - 反射, 关于某条直线或平面进行镜像翻转 > - $R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ > - $R_y = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - 剪切, 使物体沿某个方向倾斜, 角度发生改变但面积保持不变 > - $Sh_x(k) = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - $Sh_y(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}$ > - 拉伸, 沿某个或某些方向按比例放大或缩小 > - $S = \begin{bmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y \end{bmatrix}$, 其中 $k_x, k_y$​ 是不同方向的拉伸因子 > - 挤压, 沿一个方向收缩, 另一个方向可能保持不变或拉伸 > - $S = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, 当 $0<k<1$ 时, 表示沿 x-轴挤压 > - 正交投影, 将任意向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ 投影到向量 $\mathbf{u}$ 所在的直线上 > - $\displaystyle\mathbf{A} = \frac{\mathbf{u} \mathbf{u}^T}{\|\mathbf{u}\|^2} = {\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_x & u_y \end{bmatrix} = {\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}\begin{bmatrix} u_x^2 & u_x u_y \\ u_x u_y & u_y^2 \end{bmatrix}$