##### 几何向量 - 几何向量 - **几何向量**是[[欧氏空间]]二维平面或三维空间中的[[向量]], 是既有大小, 又有方向的量, 使用[[仿射坐标系]]确定坐标, 一个点确定一个向量, 一个向量也确定一个点 - $\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2),\mathbf{c}=(x_3,y_3,z_3)$ - 加法 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ - 减法 $\mathbf{a}-\mathbf{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$ - 数乘 $\lambda\mathbf{a}=(\lambda{x_1},\lambda{y_1},\lambda{z_1})$ - [[内积]] $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ - [[内积]] $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=||\mathbf{a}||\cdot||\mathbf{b}||\cdot \cos(\theta)$ - [[角度]] $\displaystyle\theta=\arccos(\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{||\mathbf{a}||||\mathbf{b}||})$ - [[叉积]] $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=||\mathbf{a}||||\mathbf{b}||\sin(\theta)\mathbf{n}$ - [[混合积]] $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}$ - [[双重叉积]] $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}$ - [[范数|长度]] $||\mathbf{a}||=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$ - [[度量|距离]] ${\rm dist}(\mathbf{a},\mathbf{b})=||\mathbf{a}-\mathbf{b}||$ - [[线性相关|共线]] $m\mathbf{a}+n\mathbf{b}=\mathbf{0}$ - [[线性相关|共面]] $l\mathbf{a}+m\mathbf{b}+n\mathbf{c}=\mathbf{0}$ - [[正交|垂直]] $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ - [[正交投影|正交投影向量]] $\displaystyle{\rm proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=||\mathbf{a}||\cos\theta\frac{\mathbf{b}}{||\mathbf{b}||}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{||\mathbf{b}||^2}\mathbf{b}$ - [[正交投影|正交投影长度]] $\displaystyle||{\rm proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}||=||\mathbf{a}||\cos\theta$ <div style="text-align: center;"><iframe scrolling="no" title="几何向量" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bq3qx5w3/width/640/height/480/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640" height="480" style="border:0px;"> </iframe></div> >[!example]- $\mathbf{a}=(0,1,1),\mathbf{b}=(1,0,1),\mathbf{c}=(1,1,0)$ > - $||\mathbf{a}||=||\mathbf{b}||=\sqrt{2}$ > - $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(1,1,2)$ > - $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1$ > - $\displaystyle\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$ > - $\theta=60\degree$ > - $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(1,1,-1)$ > - $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=2$ > - $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=(1,-1,0)$ > - $\displaystyle{\rm proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=(0.5,0,0.5)$