##### 函数极限 - 函数极限 - **函数极限**是指当[[实函数]]自变量趋近于某一[[极限点|点]]时, 函数值趋近于的一个确定值, 它刻画了函数在该点附近的行为, 而不依赖于该点处函数值是否存在. 函数极限使用 $\varepsilon-\delta$ 语言定义, 也可以用数列[[海涅定理|刻画]], 函数极限存在当前仅当[[左右极限]]存在且相等, 在[[函数间断点|间断点]]处极限可能不存在. 函数可能存在无限接近的[[渐进线]]. 函数极限可应用于多元函数和向量函数, 不过要求沿任意路径. 还有一些特殊极限. 可进行[[函数极限运算|极限运算]], 并且可推广为[[映射极限]] - 设实函数 $f(x)$ 定义域为 $D_f\in\mathbb{R}$, 且 $x_0$ 是 $D_f$ 的一个极限点, 若对于任选的函数增量 $\varepsilon>0$, 存在一个自变量增量 $\delta>0$, 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, 恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$, 则 $\displaystyle\lim^{}_{x\to x_0}f(x)=A$ - 设多元函数 $f(\mathbf{x})$ 定义域为 $D_f\in\mathbb{R}^n$, 且 $\mathbf{x}_0$ 是 $D_f$ 的一个极限点, 对于任选的函数增量 $\varepsilon>0$, 存在一个自变量增量 $\delta>0$, 使得当 $0<||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||<\delta$ 时, 恒有 $|f(\mathbf{x})-A|<\varepsilon$, 则 $\displaystyle\lim^{}_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=A$ - 设向量函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$, $\mathbf{x}\in D_f\subseteq\mathbb{R}^n$, $\mathbf{r}\in\mathbb{R}^m$, 且 $\mathbf{x}_0$ 是 $D_f$ 的一个极限点, 若对于任选的函数增量 $\varepsilon>0$, 存在一个自变量增量 $\delta>0$, 使得当 $0<||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||<\delta$ 时, 恒有 $||\mathbf{f}(\mathbf{x}) -\mathbf{v}||<\varepsilon$, 则 $\displaystyle\lim^{}_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{v}$, 或着说 $\displaystyle \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}\mathbf{f}(\mathbf{x}) = (\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}f_1(\mathbf{x}), \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}f_2(\mathbf{x}), \dots, \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}f_m(\mathbf{x}))$