##### 函数间断点 - 函数间断点 - **函数间断点**是指[[实函数]]在某点处不满足[[连续函数|连续性]]的点, 可能导致[[函数极限]]不存在, 主要分为第一类间断点和第二类间断点 - 第一类, 可去间断点, 此点无意义 - $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$ - 第一类, 跳跃间断点, 左右极限不相等 - $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\neq\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$ - 第二类, 无穷间断点, 此点无穷大 - $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty$ - 第二类, 振荡间断点, 函数值振荡 - $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 振荡不存在 > [!example]- 函数间断点 > - 第一类, 可去间断点, 此点无意义 > - 函数 $\displaystyle f(x) = \frac{x - 1}{x - 1}$, 在 $x = 1$ 极限为 $1$, 但函数在该点的值未定义 > - 第一类, 跳跃间断点, 左右极限不相等 > - 函数$f(x) = \begin{cases} x, & \text x < 2 \\x + 1, & \text x \geq 2 \end{cases}$, 在 $x = 2$ 处有一个跳跃间断点, 左极限为 $2$, 右极限为 $3$ > - 第二类, 无穷间断点, 此点无穷大 > - 函数 $\displaystyle h(x) = \frac{1}{x}$, 在 $x = 0$ 处函数值会趋近于正无穷大或负无穷大 > - 第二类, 振荡间断点, 函数值振荡 > - 函数 $h(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$, 在 $x = 0$ 处函数值会振荡