##### 分裂域 - 分裂域 - **分裂域**用来精确定义一个[[多项式]]的[[域扩张|最小扩张域]], 使得多项式完全[[因式分解]]为一次因子. 设 $f(x) \in F[x]$ 是一个域 $F$ 上的多项式, 分裂域是一个域扩张 $K/F$, 满足 $f(x)$ 在 $K[x]$ 中完全分解为一次因子, $K$ 是这样的域中最小的也就是说 $K$ 是 $f(x)$ 所有根的最小包含域 - $f(x) = a(x - \alpha_1)(x - \alpha_2)\cdots(x - \alpha_n)$, $\alpha_i \in K$ - $K = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ >[!example]- 分裂域 >- $f(x) = x^2 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ > - $x^2 - 2 = 0$ 的根是 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$ > - 需要在 $\mathbb{Q}$ 上加入 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$, 生成域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ > - 因为 $-\sqrt{2} = -1 \cdot \sqrt{2}$, 而 $-1 \in \mathbb{Q}$, 所以 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ > - $x^2 - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, 即 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 或等价地 $\mathbb{Q}[x]/(x^2 - 2)$