##### 切向量 - 切向量 - 切向量是在给定点与曲线或曲面相切的向量 - 对于光滑曲线 $\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+ h(t)\mathbf{k}$ , 切向量是[[向量函数微分|一阶导数]] $\mathbf{r}'(t)$, 可通过标准化获得单位切向量 $\mathbf{T}(t)$, 切向量可视为速度向量, 切向量长度为速度大小 - $\mathbf{r}'(t) = x'(t) \mathbf{i}+ y'(t) \mathbf{j} + z'(t) \mathbf{k}$ , $\displaystyle\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{||\mathbf{r}'(t)||}$ - $\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)$ , $\text{Speed}= ||\mathbf{v}(t) ||$ - 对于光滑曲面 $\mathbf{r}(u,v) = f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+ h(u,v)\mathbf{k}$ , 方向导数都是切向量, 偏导数是其中两个切向量 - $\displaystyle\mathbf{r}_u(u,v)=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ - $\displaystyle\mathbf{r}_v(u,v)=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ - 对于可微函数 $z=f(x,y)$ , 偏导数可以决定两个切向量 - $\mathbf{a}=(0,1,f_y(x_0,y_0))$ - $\mathbf{b}=(1,0,f_x(x_0,y_0))$