##### 初等函数微积分 - 初等函数微积分 - **初等函数微积分**是[[微积分]]中最基础的部分, 列举了[[初等函数]]的[[导数]], [[反导数]], [[微分]], [[积分]]和[[泰勒级数]] ##### 指数函数微积分 - 指数函数导数 - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}e^x=e^x$ - $y=e^x$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h}=e^x$ - $\displaystyle\frac{d}{{\rm d}x}a^x=a^x\ln(a)$ - $y=a^x$ - $x=\log_a(y)$ (换位) - $\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}y}=\frac{{\rm d}\log_a(y)}{{\rm d}y}=\frac{1}{y\ln(a)}$ (对 $y$ 求导) - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=y\ln(a)$ (倒数) - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=a^x\ln(a)$ (换元) - 指数函数积分 - $\displaystyle\int e^x{\rm d}x=e^x+C$ - $\displaystyle\int a^x{\rm d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$ ##### 对数函数微积分 - 对数函数导数 - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\ln(x)=\frac{1}{x}$ - $y=\ln(x)$ - $\displaystyle\frac{\text{d}}{\text{d}x}\ln x=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\ln(1+\frac{h}{x})=\ln\lim_{h\to0}(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}$ - $\displaystyle\frac{\text{d}}{\text{d}x}\ln x=\ln(e^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{x}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}$ - $y=\log_a x$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\log_a(x)=\frac{1}{x}\log_a(e)=\frac{1}{x\ln(a)}$ - 对数函数积分 - $\displaystyle\int \frac{1}{x}{\rm d}x=\ln|x|+C$ ##### 幂函数微积分 - 幂函数导数 - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^a=ax^{a-1}$ - $y=x^a$ - $\ln(y)=a\ln(x)$ (取对数) - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\ln(y)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}a\ln(x)$ (两边求导) - $\displaystyle\frac{1}{y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{a}{x}$ (链式求导) - 幂函数积分 - $\displaystyle\int 1{\rm d}x=\displaystyle\int {\rm d}x=x+C$ - $\displaystyle\int k{\rm d}x=kx+C$ - $\displaystyle\int x^a{\rm d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ ##### 三角函数微积分 - 三角函数导数 - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\sin(x)=\cos(x)$ - $=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$ - $=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}$ - $=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}(\sin(x)(\frac{\cos(h)-1}{h})+\cos(x)(\frac{\sin(h)}{h}))$ - $=\sin(x)\times0+\cos\times1=\cos(x)$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\cos(x)=-\sin(x)$ - $=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}$ - $=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}$ - $=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}(\cos(x)(\frac{\cos(h)-1}{h})-\sin(x)(\frac{\sin(h)}{h}))$ - $=\cos(x)\times0-\sin\times1=-\sin(x)$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\tan(x)=\sec^2(x)$ - $\displaystyle=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos^2(x)}$ - $\displaystyle=\frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$ - $\displaystyle=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{1}{cos(x)}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}u}\frac{1}{u}\cdot\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\cos(x)$ - $\displaystyle=(-\frac{1}{u^2})(-\sin(x))=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\sec(x)\tan(x)$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$ - $\displaystyle=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{1}{sin(x)}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}u}\frac{1}{u}\cdot\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\sin(x)$ - $\displaystyle=(-\frac{1}{u^2})(\cos(x))=-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}=-\csc(x)\cot(x)$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\cot(x)=-\csc^2(x)$ - $\displaystyle=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{-\sin(x)\sin(x)-\cos(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}$ - $\displaystyle=\frac{1}{\sin^2(x)}=-\csc^2(x)$ - 三角函数积分 - $\displaystyle\int \cos x{\rm d}x=\sin x+C$ - $\displaystyle\int \sin x{\rm d}x=-\cos x+C$ - $\displaystyle\int {\frac{1}{\cos^2x}} {\rm d}x=\displaystyle\int {\sec^2} {\rm d}x=\tan x+C$ - $\displaystyle\int {\frac{1}{\sin^2x}} {\rm d}x=\displaystyle\int {\csc^2} {\rm d}x=-\cot x+C$ - $\displaystyle\int \sec x \tan x{\rm d}x=\sec x+C$ - $\displaystyle\int \csc x \cot x{\rm d}x=-\csc x+C$ ##### 反三角函数微积分 - 反三角函数导数 - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $y=\sin x$ 的反函数 $x=\sin y$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}\sin y}{{\rm d}x}\Rightarrow 1=\cos y\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Rightarrow \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\cos y}$ - $x^2=\sin^2y$, $\cos^2y+\sin^2y=1$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $y=\cos x$ 的反函数 $x=\cos y$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}\sin y}{{\rm d}x}\Rightarrow 1=-\sin y\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Rightarrow \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\frac{1}{\sin y}$ - $x^2=\cos^2y$, $\cos^2y+\sin^2y=1$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$ - $y=\tan x$ 的反函数 $x=\tan y$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}\tan y}{{\rm d}x}\Rightarrow 1=\sec^2 y\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Rightarrow \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\sec^2 y}$ - $x^2=\tan^2y$, $\sec^2y-\tan^2y=1$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{1+x^2}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}{\rm arccot}\ x=-\frac{1}{1+x^2}$ - $y=\cot x$ 的反函数 $x=\cot y$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}\cot y}{{\rm d}x}\Rightarrow 1=-\csc^2 y\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Rightarrow \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\frac{1}{\csc^2 y}$ - $x^2=\cot^2y$, $\csc^2y-\cot^2y=1$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\frac{1}{1+x^2}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}{\rm arcsec}\ x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ - $y=\sec x$ 的反函数 $x=\sec y$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}\sec y}{{\rm d}x}\Rightarrow 1=\sec y\tan y\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Rightarrow \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\sec y\tan y}$ - $x^2=\sec^2y$, $\sec^2y-\tan^2y=1$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}{\rm arccsc}\ x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ - $y=\csc x$ 的反函数 $x=\csc y$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}\csc y}{{\rm d}x}\Rightarrow 1=-\csc y\tan y\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Rightarrow \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\frac{1}{\csc y\tan y}$ - $x^2=\csc^2y$, $\csc^2y-\tan^2y=1$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ - 反三角函数积分 - $\displaystyle\int {\frac{1}{a^2+x^2}}{\rm d}x={\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}}+C$ - $\displaystyle\int {\frac{1}{1+x^2}}{\rm d}x=\arctan{x}+C$ - $\displaystyle\int {\frac{1}{a^2-x^2}}{\rm d}x={\arcsin\frac{x}{a}}+C$ - $\displaystyle\int {\frac{1}{1-x^2}}{\rm d}x=\arcsin{x}+C$ ##### 双曲函数微积分 - 双曲函数导数 - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\sinh x=\cosh x$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\cosh x=\sinh x$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\tanh x=\text{sech}^2 x$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\coth x=-\text{csch}^2 x$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\text{sech}\ x=-\text{sech}\ x\ \text{tanh}\ x$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\text{csch}\ x=-\text{csch}\ x\ \text{coth}\ x$ - 双曲函数积分 - $\displaystyle\int\sinh x\text{d}x=\cosh x+C$ - $\displaystyle\int\cosh x\text{d}x=\sinh x+C$ - $\displaystyle\int\tanh x\text{d}x=\ln\cosh x+C$ - $\displaystyle\int\coth x\text{d}x=\ln|\sinh x|+C$ - $\displaystyle\int\text{sech}\ x\text{d}x=\arctan(\sinh x)+C$ - $\displaystyle\int\text{csch}\ x\text{d}x=\ln|\tanh \frac{x}{2}|+C$ ##### 反双曲函数微积分 - 反双曲函数导数 - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{arcsinh} x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{arcosh} x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{artanh} x=\frac{1}{1-x^2}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{arcoth} x=\frac{1}{1-x^2}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{arsech} x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{arcsch} x=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$ ##### 有理函数微积分 - 有理函数积分 - $\displaystyle r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ 为[[有理函数]], 积分为 $\displaystyle\int r(x)\text{d}x$, 通常通过部分分式分解来简化计算 - 多项式除法 - 分母因式分解 - 部分分式分解 - 求系数 - 积分计算 ##### 参数方程微积分 - 参数方程微积分 - [[参数方程]]的[[微积分]]是描述参数方程作为[[复合函数]]的微积分方法, 设 $\left\{\begin{matrix} x=f(t) \\ y=g(t) \end{matrix}\right.$, $y=g(f^{-1}(x))$ , $t\in[t_1,t_2]$, $x\in[x_1,x_2]$ - 参数方程求导即[[导数运算|链式求导]] - $\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \Rightarrow \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}}{\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}}$ - $\displaystyle\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x})=\frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{x'^3(t)}$ - 参数方程积分即[[积分换元法]] - $\displaystyle \int^{x_2}_{x_1}g(f^{-1}(x)){\rm d}x = \int^{f^{-1}(x_2)}_{f^{-1}(x_1)} g(f^{-1}(x))f'(t){\rm d}t=\int^{t_2}_{t_1}g(t)f'(t){\rm d}t$ ##### 初等函数泰勒展开 - 初等函数泰勒展开 - [[初等函数]]在 $x=0$ 的[[泰勒级数|泰勒展开式]] - $\displaystyle e^x$, $x\in(-\infty,+\infty)$ - $\displaystyle 1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}$ - $\displaystyle \ln{(1+x)}$, $x\in(-1,1]$ - $\displaystyle x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+... = \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$ - $\displaystyle\frac{1}{1+x}$, $x\in(-1,1)$ - $\displaystyle1-x+x^2+...+(-1)^nx^n+...= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^nx^n$ - $\displaystyle\frac{1}{1-x}$, $x\in(-1,1)$ - $\displaystyle1+x+x^2+...+x^n+...= \sum^{\infty}_{n=0} x^n$ - $\displaystyle \sin{x}$, $x\in(-\infty,+\infty)$ - $\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ - $\displaystyle \cos{x}$, $x\in(-\infty,+\infty)$ - $\displaystyle x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$