##### 勒贝格测度 - 勒贝格测度 - **勒贝格测度**是[[欧氏空间]]上的标准[[测度]], 对维数为$1, 2, 3$ 的情况, 勒贝格测度就是通常的长度, 面积, 体积, 通常用于定义[[勒贝格积分]]. 勒贝格测度通过将[[勒贝格外测度]] $\mu^*$ 限制到[[勒贝格可测集]] $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ 上, 使之成为一个真正的测度 - 对于区间 $A=[a,b]\subseteq \mathbb{R}$, 勒贝格测度 $\mu$ 定义为区间的长度 - $\mu(A)=b−a$ - 对于矩形 $A=[a_1​,b_1​]\times[a_2​,b_2​]\times\cdots\times[a_n​,b_n​]\subseteq \mathbb{R}^n$, 勒贝格测度 $\mu$ 定义为矩形的体积 - $\mu(A)=(b_1−a_1)(b_2−a_2)\cdots(b_n−a_n)$ - 对于任意集合 $A \subseteq \mathbb{R}^n$, 勒贝格测度 $\mu$ 定义为其外测度, 并且满足卡拉西奥多里条件 - $\mu(A)=\mu^*(A)$ - $\mu^*(E)=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)$