##### 勒贝格积分 - 勒贝格积分 - **勒贝格积分**扩展了传统的[[积分|黎曼积分]], 使其能够处理更广泛的[[映射|函数]]和[[集合]], 例如[[狄利克雷函数]]. 其基本思想是通过对函数值进行加权, 使用测度来替代区间长度, 按照函数值域划分, 而非定义域划分, 因此比黎曼积分更具灵活性, 特别是在处理不连续函数和具有不规则行为的函数时. 勒贝格积分仅对[[测度空间]]上的[[可测函数]]定义, 最基础的是[[简单函数]], 然后可以通过简单函数来逼近一般非负可测函数. 若绝对值下函数积分是有限的, 则是勒贝格可积函数, 构成[[可积函数空间]] - 简单函数的积分, 设简单函数 $f:X\to[0,+\infty)$, 则其积分是各个函数值与其对应测度的加权和 - $\displaystyle\int_{X}f\text{d}\mu=\sum^{n}_{i=1}a_i\mu(A_i)$ - 非负可测函数的积分, 设非负可测函数 $f:X\to[0,+\infty)$ , 则其积分通过简单函数逼近定义 - $\displaystyle \int_X f \text{d}\mu=\sup\left\{\int_Xg \text{d}\mu\mid 0\leq g\leq f, \text{g 是简单函数}\right\}$ - 一般可测函数的积分, 设一般可测函数 $f:X\to\mathbb{R}$, 则其积分分解为正负部分 - $f=f^+−f^−$, $f^+=\max(f,0)$, $f^−=\max(−f,0)$ - $\displaystyle \int_Xf \text{d}\mu=\int_Xf ^+\text{d}\mu-\int_Xf ^-\text{d}\mu$ - 勒贝格可积函数, 设测度空间 $(X, \mathcal{A}, \mu)$, 函数 $f : X \to \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 是可测的, 若绝对值下函数积分是有限的 - $\displaystyle \int_X |f(x)| \text{d} \mu(x) < \infty$ - 勒贝格积分性质与条件 - [[勒贝格积分基础运算]] - [[单调收敛定理]] - [[控制收敛定理]] - [[法图引理]] - [[富比尼定理]] <div style="text-align: center;"><iframe scrolling="no" title="勒贝格积分" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/uz5upfnz/width/700/height/300/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="700px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe></div>