##### 单射线性变换 - 单射线性变换 - **单射线性变换**是指[[线性变换]]为[[映射|单射]], 当且仅当[[零空间]]为 $\{\mathbf{0}\}$, 在[[矩阵变换]]中就是[[矩阵的秩|列满秩]]矩阵. 若单射, 则 $\dim V\leq \dim W$ >[!example]- 2维到3维矩阵变换示例 >- $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{a_1}&\mathbf{a_2}\end{bmatrix}$ > - 定义域 $\mathbb{R}^2$ | [[零空间]] ${\rm Nul} A=\{\mathbf{0}\}$ > - 陪域 $\mathbb{R}^3$ | 值域([[列空间]]) ${\rm Col} A={\rm Span}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}\}$ > - ![[opentext_数学_单射线性变换.png|400]] > - $T(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 1\\0\\1\end{bmatrix}$, $T(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}$ > - 定义域是 $\mathbb{R}^2$, 定义域中能映射成陪域中 $\mathbf{0}$ 的只有 $(0,0)$ > - 陪域是 $\mathbb{R}^3$, 值域是 $\mathbb{R}^3$ 中由矩阵列向量张成的一个平面, 显然单射不是满射