##### 单调有界定理 - 单调有界定理 - **单调有界定理**表示[[实数]]上任何单调且有界的[[常数序列|数列]]必然收敛序列极限存在, 如果序列 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界或单调递减且有下界, 则该序列收敛于一个实数极限. 利用[[确界定理]]和[[数列极限]]证明, 如果一个序列 $\{a_n\}$ 是单调递增且有上界, 那么这个序列必定收敛, 并且它的极限是序列的上确界, 即最小上界 $\sup \{a_n\}$ - 设 $\{a_n\}$ 是一个单调递增有上界的实数序列, 由最小上界定理可得上确界 $c = \sup \{a_n\}$ 存在, 对于所有 $n$, 有 $a_n \leq c$ - $c$ 是最小上界, 因此 $c - \varepsilon$ 不是上界, 存在某个项 $a_N \in \{a_n\}$, 使得 $a_N > c - \varepsilon$ - 由于 $\{a_n\}$ 是单调递增的, 因此对于所有 $n > N$ 都有 $a_N \leq a_n \leq c$ - 所以对于任意的 $\varepsilon > 0$, 存在一个 $N$, 当 $n > N$ 时, $\mid a_n-c\mid=c-a_n\leq c-a_N<\varepsilon$ - 由序列极限定义可得当 $n \to \infty$ 时, $a_n$​ 越来越接近 $c$, 即 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = c = \sup \{a_n\}$ - 因此, 单调递增且有上界的序列必定收敛, 并且其极限是序列的上确界