##### 压缩映射定理 - 压缩映射定理 - 设 $(X, d)$ 是一个[[完备度量空间]], 且映射 $T: X \to X$ 是一个压缩映射, 即存在一个常数 $0 \leq k < 1$ 使得对于所有 $x, y \in X$ 有 $d(T(x), T(y)) \leq k \cdot d(x, y)$, 就是将点之间的距离压缩到原来的 $k$ 倍, 那么有以下结论 - 压缩映射 $T$ 在 $X$ 中有唯一的不动点 $x^*$, 即存在 $x^* \in X$, 使得 $T(x^*) = x^*$ - 对于任意初始点 $x_0 \in X$, 通过迭代序列 $x_{n+1} = T(x_n)$, 序列 $\{x_n\}$ 收敛到不动点 $x^*$, 并且收敛速度是指数级的 >[!example]- 压缩映射定理 > - 设 $T(x) = \frac{1}{2}x + 1$, 定义在 $X = [1, 2]$ 上, 度量为 $d(x, y) = |x - y|$ > - $T$ 是压缩映射 $|T(x) - T(y)| = \frac{1}{2} |x - y|$ 压缩常数 $k= \frac{1}{2}$ > - $T$ 的唯一不动点满足 $x = T(x) = \frac{1}{2}x + 1 \implies x = 2$ > - 通过迭代 $x_{n+1} = T(x_n)$, 例如从 $x_0 = 1$ 开始, 序列 $\{x_n\}$ 将收敛到不动点 $x^* = 2$