##### 参数化曲线 - 参数化曲线 - **参数化曲线**是用[[实函数|向量函数]]或[[参数方程]]来表示[[空间曲线|曲线]]上点的坐标, 一条起点终点相同的曲线称为闭合曲线, 如果曲线除端点外本身均不相交, 则称为简单曲线. 关注几何量有[[切向量]], [[法向量]], [[曲线弧长]], [[曲率]], [[挠率]] - $\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+ h(t)\mathbf{k}$ , $\left\{\begin{matrix} x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t)\end{matrix}\right.$ , $t\in\mathbb{R}$ - ![[opentext_数学_参数化曲线.png]] >[!example]- 参数化曲线: 螺旋线 > - $\mathbf{r}(t) = \sin(t)\mathbf{i}+\cos(t)\mathbf{j}+ t\mathbf{k}$ , $0\leq t\leq\pi$ > - $\mathbf{r}(\pi) = (0,-1,\pi)$ > - $\mathbf{r}'(t) = \cos(t)\mathbf{i}-\sin(t)\mathbf{j}+ \mathbf{k}$ > - $\mathbf{r}'(\pi) = (-1,0,1)$ > - $\mathbf{T}(t)= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(t)\mathbf{i}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(t)\mathbf{j}+ \frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{k}$ > - $\mathbf{T}(\pi)=(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ > - $\mathbf{N}(t)=-\sin(t)\mathbf{i}-\cos(t)\mathbf{j}$ > - $\mathbf{N}(\pi) = (0,1,0)$ > - $\displaystyle s =\int^{\pi}_{0}\sqrt{2}{\rm d}t=\sqrt{2}\pi$ > - $\displaystyle\kappa=\frac{||\mathbf{T}'(t)||}{||\mathbf{r}'(t)||}=\frac{1}{2}$ > - ![[opentext_数学_螺旋曲线.png|400]]