##### 双射线性变换 - 双射线性变换 - **双射线性变换**是指[[线性变换]]为[[映射|双射]], 当且仅当既是[[单射线性变换|单射]]又是[[满射线性变换|满射]], 在[[矩阵变换]]中就是[[矩阵的秩|满秩]][[方阵]]. 若双射, 则 $\dim V= \dim W$, 并且双射线性变换为可逆线性变换, 即[[可逆算子]] >[!example]- 2维到2维矩阵变换示例 >- $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{a_1}&\mathbf{a_2}\end{bmatrix}$ > - 定义域 $\mathbb{R}^2$ | [[零空间]] ${\rm Nul} A=\{\mathbf{0}\}$ > - 陪域 $\mathbb{R}^2$ | 值域([[列空间]]) ${\rm Col} A=\mathbb{R}^2$ > - ![[opentext_数学_双射线性变换.png|400]] > - $T(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 2\\1\end{bmatrix}$, $T(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}$ > - 定义域是 $\mathbb{R}^2$, 定义域中能映射成陪域中 $\mathbf{0}$ 的只有 $(0,0)$ > - 陪域是 $\mathbb{R}^2$, 值域是 $\mathbb{R}^2$ 中由矩阵列向量张成的一个平面, 显然单射不是满射 > - $|A-\lambda E|=\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix}=0$ > - $(2-\lambda)^2-1=0$ > - 特征值 $\lambda=1$ 或 $\lambda=3$ > - 特征值 $\lambda=1$ 时, 特征空间 $\mathbf{x}=x_2\begin{bmatrix} -1\\1\end{bmatrix}$, $x_2\neq0$ > - 特征值 $\lambda=3$ 时, 特征空间 $\mathbf{x}=x_2\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}$, $x_2\neq0$