##### 双曲函数 - 双曲函数 - **双曲函数**形式上类似于[[三角函数]], 是使用单位[[双曲线]]来定义的[[映射]], 自变量为[[双曲角]]. 双曲函数有一些[[双曲函数基本关系|基本关系]]. 复双曲函数以[[复数]]为双曲角, 和复三角函数可相互转换 - 双曲正弦 $\displaystyle\sinh x ={e^x -e^{-x}\over 2}$, $\displaystyle\sinh z ={e^z -e^{-z}\over 2}$ - 双曲余弦 $\displaystyle\cosh x ={e^x +e^{-x }\over2}$, $\displaystyle\cosh z ={e^z +e^{-z }\over2}$ - 双曲正切 $\displaystyle\tanh x = {\sinh x\over\cosh x}$, $\displaystyle\tanh z = {\sinh z\over\cosh z}$ - 双曲余切 $\displaystyle\coth x= {\cosh x\over\sinh x}$ - 双曲正割 $\displaystyle\text{sech}\ x= {1\over\cosh x}$ - 双曲余割 $\displaystyle \text{csch}\ x = {1\over\sinh x}$ | 函数 | 记号 | 奇偶性 | 单调性 | 定义域 | 值域 | | ---- | ---------------- | --- | -------------------------------------- | ---------------------------- | --------------------------------- | | 双曲正弦 | $\sinh x$ | 奇函数 | 严格递增 | $(-\infty, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ | | 双曲余弦 | $\cosh x$ | 偶函数 | 递减 $(-\infty, 0)$ <br>递增 $(0, \infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[1, +\infty)$ | | 双曲正切 | $\tanh x$ | 奇函数 | 严格递增 | $(-\infty, +\infty)$ | $(-1, 1)$ | | 双曲余切 | $\coth x$ | 奇函数 | 递减 $(-\infty, 0)$ <br>递减 $(0, \infty)$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ | $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ | | 双曲正割 | $\text{sech}\ x$ | 偶函数 | 递增 $(-\infty, 0)$ <br>递减 $(0, \infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(0, 1]$ | | 双曲余割 | $\text{csch}\ x$ | 奇函数 | 递减 $(-\infty, 0)lt;br>递减 $(0, \infty)$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ | <div style="text-align: center;"><iframe scrolling="no" title="双曲函数" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nnpmgvzh/width/640/height/480/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640" height="480" style="border:0px;"> </iframe></div>