##### 双线性型 - 双线性型 [[双线性型的矩阵|矩阵]] - **双线性型** $B$ 是定义在一个[[向量空间]]上的[[双线性泛函]] $B:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$, 双线性型构成的向量空间记为 $V^{(2)}$. [[二次型|实二次型]]是一个向量上的对称双线性型, [[实数内积]]是正定对称双线性型 - $B:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$ , 对所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$, $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ 满足 - 双线性性 $B(\mathbf{u},\mathbf{v})=\mathbf{u}^TA\mathbf{v}$ - $B(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v},\mathbf{w})=\alpha B(\mathbf{u},\mathbf{w})+\beta B(\mathbf{v},\mathbf{w})$ - $B(\mathbf{u},\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w})=\alpha B(\mathbf{u},\mathbf{v})+\beta B(\mathbf{u},\mathbf{w})$ - 对称性 (仅适用于对称双线性型) $A=A^T$ - $B(\mathbf{u},\mathbf{v})=B(\mathbf{v},\mathbf{u})$ - 交错性 (仅适用于交错双线性型) $A=-A^T$ - $B(\mathbf{u},\mathbf{v})=-B(\mathbf{v},\mathbf{u})$, $B(\mathbf{v},\mathbf{v})=0$ >[!example]- 双线性型 >- $B((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) =x_1y_2−5x_2y_3+2x_3y_1$ > - 设标准基 $E=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ > - $A = \begin{bmatrix} B(e_1, e_1) & B(e_1, e_2) & B(e_1, e_3) \\ B(e_2, e_1) & B(e_2, e_2) & B(e_2, e_3) \\ B(e_3, e_1) & B(e_3, e_2) & B(e_3, e_3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ > - 设基 $C=\{(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ > - $D = \begin{bmatrix} B(c_1, c_1) & B(c_1, c_2) & B(c_1, c_3) \\ B(c_2, c_1) & B(c_2, c_2) & B(c_2, c_3) \\ B(c_3, c_1) & B(c_3, c_2) & B(c_3, c_3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T D \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ > - 过渡矩阵 $P_{E\to C}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}$ > - $P^T A P=D$ > - $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - 同一双线性型关于不同基的矩阵表示之间是矩阵合同的