##### 双线性型的矩阵 - 双线性型的矩阵 - **双线性型的矩阵**是[[方阵]], 对称双线性型是[[对称矩阵]], 交错双线性型是[[反对称矩阵]]. 具体来说双线性型 $B$ 在 $V$ 中基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 下的矩阵 $A$ 的元素可以通过作用在基向量上定义 $a_{ij} = B(e_i, e_j)$, 并且同一双线性型关于不同基的矩阵表示之间是[[矩阵合同]]的 - $A = \begin{bmatrix} B(e_1, e_1) & B(e_1, e_2) & \cdots & B(e_1, e_n) \\ B(e_2, e_1) & B(e_2, e_2) & \cdots & B(e_2, e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B(e_n, e_1) & B(e_n, e_2) & \cdots & B(e_n, e_n) \end{bmatrix}$ - 设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 和 $\mathbf{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ 表示在基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 下的线性组合, 可以将这两个向量写作 - $\mathbf{x} = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n$ - $\mathbf{y} = y_1 e_1 + y_2 e_2 + \cdots + y_n e_n$ - 双线性型 $B(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ 可以展开为 - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = B(x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n, y_1 e_1 + y_2 e_2 + \cdots + y_n e_n)$ - $\displaystyle B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j B(e_i, e_j)= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j A_{i,j}$ - 矩阵表示 - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y}$ - 对于对称性 $B(\mathbf{u},\mathbf{v})=B(\mathbf{v},\mathbf{u})$ 有对称矩阵 - $A=A^T$ - 对于交错性 $B(\mathbf{u},\mathbf{v})=-B(\mathbf{v},\mathbf{u})$, $B(\mathbf{v},\mathbf{v})=0$ 有反对称矩阵 - $A=-A^T$ >[!example]- 双线性型的矩阵 >- $B((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) =x_1y_2−5x_2y_3+2x_3y_1$ > - 设标准基 $E=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ > - $A = \begin{bmatrix} B(e_1, e_1) & B(e_1, e_2) & B(e_1, e_3) \\ B(e_2, e_1) & B(e_2, e_2) & B(e_2, e_3) \\ B(e_3, e_1) & B(e_3, e_2) & B(e_3, e_3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ > - 设基 $C=\{(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ > - $D = \begin{bmatrix} B(c_1, c_1) & B(c_1, c_2) & B(c_1, c_3) \\ B(c_2, c_1) & B(c_2, c_2) & B(c_2, c_3) \\ B(c_3, c_1) & B(c_3, c_2) & B(c_3, c_3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T D \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ > - 过渡矩阵 $P_{E\to C}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}$ > - $P^T A P=D$ > - $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - 同一双线性型关于不同基的矩阵表示之间是矩阵合同的