##### 反双曲函数 - 反双曲函数 - **反双曲函数**是[[双曲函数]]的[[映射|逆映射]], 用于由双曲函数的值求出对应的变量即双曲角, 与反三角函数类似, 但在定义域, 值域和性质上有所不同 - 反双曲正弦 $\sinh^{−1}x =\operatorname{arcsinh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ - 反双曲余弦 $\cosh^{−1}x =\operatorname{arccosh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2−1}\right)$ - 反双曲正切 $\tanh^{−1}x=\operatorname{arctanh}x=\dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1+x}{1−x}\right)$ - 反双曲余切 $\coth^{−1}x =\operatorname{arccot}x=\frac{1}{2}\ln \left(\dfrac{x+1}{x−1}\right)$ - 反双曲正割 $\operatorname{sech}^{−1}x=\operatorname{arcsech}x=\ln \left(\dfrac{1+\sqrt{1−x^2}}{x}\right)$ - 反双曲余割 $\operatorname{csch}^{−1}x=\operatorname{arccsch}x=\ln \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)$ | 函数 | 记号 | 奇偶性 | 单调性 | 定义域 | 值域 | | ----- | --------------------- | --- | ---- | --------------------------------- | -------------------------------- | | 反双曲正弦 | $\sinh^{−1} x$ | 奇 | 单调递增 | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | | 反双曲余弦 | $\cosh^{−1} x$ | 无 | 单调递增 | $[1, +\infty)$ | $[0, +\infty)$ | | 反双曲正切 | $\tanh^{−1} x$ | 奇 | 单调递增 | $(-1, 1)$ | $\mathbb{R}$ | | 反双曲余切 | $\coth^{−1} x$ | 奇 | 单调递减 | $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | | 反双曲正割 | $\text{sech}^{−1}\ x$ | 无 | 单调递减 | $(0, 1]$ | $[0, +\infty)$ | | 反双曲余割 | $\text{csch}^{−1}\ x$ | 奇 | 单调递减 | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | <div style="text-align: center;"><iframe scrolling="no" title="反双曲函数" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pyp5mgbp/width/640/height/480/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640" height="480" style="border:0px;"> </iframe></div>