##### 反常积分 - 反常积分 - **反常积分**是对[[积分|黎曼积分]]的扩展, 用来处理无界函数或无穷区间的情况 - 无界函数的反常积分 - 函数 $f(x)$ 接近 $a$ 点时无界, 若极限存在, 则积分收敛, 否则发散 - $\displaystyle\int^{b}_{a}f(x){\rm d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int^{b}_{a+\varepsilon}f(x){\rm d}x$ - 函数 $f(x)$ 接近 $b$ 点时无界, 若极限存在, 则积分收敛, 否则发散 - $\displaystyle\int^{b}_{a}f(x){\rm d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int^{b-\varepsilon}_{a}f(x){\rm d}x$ - 函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内 $c$ 点无界, 若两部分都收敛存在, 则积分收敛, 否则发散 - $\displaystyle\int^{b}_{a}f(x){\rm d}x=\displaystyle\int^{c}_{a}f(x){\rm d}x+\displaystyle\int^{b}_{c}f(x){\rm d}x$ - 无穷区间的反常积分 - $[a,\infty]$ - $\displaystyle\int^{\infty}_{a}f(x){\rm d}x=\lim_{N\rightarrow\infty}\int^{N}_{a}f(x){\rm d}x$ - $[-\infty,b]$ - $\displaystyle\int^{b}_{-\infty}f(x){\rm d}x=\lim_{N\rightarrow\infty}\int^{b}_{-N}f(x){\rm d}x$ - $[-\infty,\infty]$ - $\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty}f(x){\rm d}x=\displaystyle\int^{c}_{-\infty}f(x){\rm d}x+\displaystyle\int^{\infty}_{c}f(x){\rm d}x$