##### 可对角化矩阵 - 可对角化矩阵 [[可对角化算子|算子]] - **可对角化矩阵**指一个[[方阵]] $A$ 和[[对角矩阵]] $D$ [[矩阵相似]], 即存在[[可逆矩阵|可逆矩阵]] $P$ 使得 $PAP^{-1}=D$. 其中 $P$ 列向量是 $A$ 的[[特征值和特征向量|特征向量]] $\mathbf{v_i}$ , $D$ 主对角线上的元素是 $A$ 的[[特征值和特征向量|特征值]] $\lambda_i$ . 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量. 首先求 $A$ 的特征值及特征向量, 然后用特征值构造对角矩阵 $D$, 用特征向量构造可逆矩阵 $P$ - $[T]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{bmatrix}$ >[!example]- 可对角化矩阵 >- 可对角化矩阵 > - $\begin{bmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-\frac{1}{2}&1\\1&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=2$, $\mathbf{v}_1=(-\frac{1}{2},1)$ > - $\lambda_2=5$, $\mathbf{v}_2=(1,1)$