##### 可对角化算子 - 可对角化算子 [[可对角化矩阵|矩阵]] - **可对角化算子**是指[[线性算子]]关于某个基具有[[对角矩阵]], 即算子矩阵与对角矩阵[[矩阵相似|相似]] - $[T]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{bmatrix}$ | | 算子可对角化 | 算子可若尔当化 | | ---------------------- | ---------------------------- | ------------------------------ | | [[特征值的重数]] | 代数重数 = 几何重数 | 代数重数 > 几何重数 | | [[特征值和特征向量\|特征向量]] | 特征向量构成基<br>存在 $n$ 个线性无关的特征向量 | 特征向量不构成基<br>不存在 $n$ 个线性无关的特征向量 | | [[特征空间]] | 特征空间是直和分解 | 特征空间不是直和分解 | | [[特征值和广义特征向量\|广义特征向量]] | 不需要, 特征向量就是广义的 | 需要, 广义特征向量构成基 | | [[最小多项式]] | 最小多项式无重根<br> | 最小多项式有重根 | | [[复向量空间]] | 不一定可对角化 | 一定可若尔当化 | | [[谱定理]] | 一定正交对角化 | 一定正交对角化 | >[!example]- 可对角化算子 >- $T \in L(\mathbb{R}^2)$, $T(x,y)=(41x+7y,−20x+74y)$ > - $T$ 关于标准基的矩阵不是对角矩阵 > - $T = \begin{bmatrix} 41 & 7 \\ -20 & 74 \end{bmatrix}$ > - $T$ 关于基 $\{(1,4),(7,5)\}$的矩阵是对角矩阵 > - $T = \begin{bmatrix} 69 & 0 \\ 0 & 46 \end{bmatrix}$ > - 特征值与特征向量 > - 特征向量构成基 > - $\lambda_1=69$ $\mathbf{v}_1=(1,4)$ > - $\lambda_2=46$ $\mathbf{v}_1=(7,5)$ >- $T \in L(\mathbb{R}^3)$, $T(x,y,z)=(y,z,0)$ > - $T$ 关于标准基的矩阵不是对角矩阵, 是若尔当标准型, 只有一个若尔当块且是三维 > - $T = \begin{bmatrix} 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 &1\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$ > - 特征值与特征向量 > - 特征向量不构成基 > - $\lambda_1=0$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - 不可对角化 > - 特征值与广义特征向量 > - 代数重数为 $3$ 几何重数为 $1$ > - $\lambda_1=0$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - $\lambda_2=0$ $\mathbf{v}_1=(0,1,0)$ > - $\lambda_3=0$ $\mathbf{v}_1=(0,0,1)$