##### 可导函数 - 可导函数 - **可导函数**是指[[实函数]]的变化率在某一点附近是确定的. 如果函数在某一点[[导数|导数]]存在, 则称其在这一点可导, 若在某开区间的每一点均可导, 则称函数在该开区间可导, 若在整个定义域上都可导, 则称为可导函数. 若任意阶导数都存在且连续, 则称为[[光滑函数]]. 可导函数与[[可微函数]]等价, 并且一定是[[连续函数]], 但反之不成立, 特别的存在处处连续而处处不可导的函数例如[[魏尔施特拉斯函数]]. 通过导数可分析[[可导函数性质]] - $f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}$ > [!example]- 可导函数 > - 函数可导则函数连续 > - 如果函数 $f$ 在某点 $x_0$​ 可导, 那么 $f$ 在该点 $x_0$​ 连续 > - 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导, 即 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$ > - 因为函数极限存在的充要条件为函数值等于极限值加无穷小 > - 所以 $\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha$ , $\alpha$ 为无穷小 > - 所以 $\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha\Delta x$ > - 所以 $\Delta x\to0$ 时, $\Delta y\to0$ 函数在点 $x$ 处连续