##### 可导函数局部结构 - 可导函数局部结构 - **可导函数局部结构**主要包括[[可导函数]]的[[单调函数|单调性]], [[凹凸函数|凹凸性]]和[[最值|局部最值]], 涉及[[高阶导数]]和[[高阶偏导数]], 具有[[费马引理]], [[罗尔定理]], [[拉格朗日中值定理]], [[柯西中值定理]], [[泰勒级数]], [[隐函数定理]], [[反函数定理]]等 - 单调性 - $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\geq0$, 且等号仅在有限多个点处成立, 那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增 - $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\leq0$, 且等号仅在有限多个点处成立, 那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减 - $f(\mathbf{x})$ 沿 $\nabla f$ 方向增加最快, 沿 $-\nabla f$ 方向减少最快 - 凹凸性 - $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内 $f''(x)\geq0$, 则局部凸 - $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内 $f''(x)\leq0$, 则局部凹 - $f(\mathbf{x})$ 在 $\mathbf{x_0}$ 处 $\mathbf{H}_f(\mathbf{x_0})$ 正定矩阵, 则局部凸 - $f(\mathbf{x})$ 在 $\mathbf{x_0}$ 处 $\mathbf{H}_f(\mathbf{x_0})$ 负定矩阵, 则局部凹 - 局部最值 - $f(x)$ 第一充分条件, 在 $x_0$ 点连续, $x$ 邻近渐增经过 $x_0$, 若 $f'(x)$ 由正到负, 则 $f(x_0)$ 为极大值点, 若 $f'(x)$ 由负到正, 则 $f(x_0)$ 为极小值点, 若不变号则不是极值点 - $f(x)$ 第二充分条件, 在 $x_0$ 点存在二阶导数且 $f'(x_0)=0$, $f''(x_0)\neq0$, 当 $f''(x_0)<0$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值, 当 $f''(x_0)>0$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值 - $f(\mathbf{x})$ 在 $\mathbf{x_0}$ 处取得极值必要条件是驻点, 即梯度零向量 $\nabla f(\mathbf{a}) = \mathbf{0}$. 而极值的充分条件可用黑塞矩阵, 若 $H_f(\mathbf{\mathbf{x_0}})$ 正定, 则取极小值, 若 $H_f(\mathbf{\mathbf{x_0}})$ 负定, 则取极大值, 若 $H_f(\mathbf{\mathbf{x_0}})$ 不定, 则取鞍点