##### 可微多元函数性质 - 可微多元函数性质 - **可微多元函数性质**是[[可导函数]]的[[单调函数|单调性]], [[凹凸函数|凹凸性]]和[[最值]], 有[[黑塞矩阵]]. 多元函数可微则多元函数连续切偏导 - 可微多元函数凹凸性 - 凹凸性通过黑塞矩阵的性质来判定 - 可微多元函数极值 - 极大值指 $f(\mathbf{a})$ 是 $f$ 在点 $\mathbf{a}$ 附近的一个局部极大值, 存在一个邻域 $U$ 使得对于所有 $\mathbf{x} \in U$, 都有 $f(\mathbf{x}) \leq f(\mathbf{a})$ - 极小值指 $f(\mathbf{a})$ 是 $f$ 在点 $\mathbf{a}$ 附近的一个局部极小值, 存在一个邻域 $U$ 使得对于所有 $\mathbf{x} \in U$, 都有 $f(\mathbf{x}) \geq f(\mathbf{a})$ - 极值的必要条件是驻点 - 极值的充分条件可用黑塞矩阵 - 可微多元函数最值 - 最大值指 $f(\mathbf{a})$ 在整个定义域内比其他所有点的函数值都大 - 最小值指 $f(\mathbf{a})$ 在整个定义域内比其他所有点的函数值都小 > [!example]- 可微多元函数性质 > - 如果一个多元函数 $f$ 在点 $\mathbf{x}_0$​ 处是可微的, 那么 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$​ 处连续 > - 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分 > - 则全增量 > - $\Delta{z}=A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2})$, $\displaystyle\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\Delta z=0$ > - 所以 > - $f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})=f(x,y)+\Delta{z}$ > - $\displaystyle\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}(f(x,y)+\Delta{z})=f(x,y)$ > - 所以 > - 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可连续 > - 如果一个多元函数 $f$ 在点 $\mathbf{x}_0$​ 处是可微的, 那么 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$​ 处的偏导数 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}$​ 一定存在, 这些偏导数可以构成梯度向量 $\nabla f(\pmb{x}_0)$ > - 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 可微分 > - 则对于点 $P$ 的某个邻域内任意一点 $P'(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 存在全增量 > - $\begin{align}\Delta{z}=A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2})\end{align}$ > - 当固定自变量 $y$ 即 $\Delta y=0$ 时 > - $\Delta{z}=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)=A\Delta{x}+o(|\Delta{x}|)$ > - 于是 > - $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=A$ > - 即 > - 偏导数 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=A$ 存在 > - 同理 > - 固定自变量 $x$ 可证偏导数 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=B$ 存在