##### 可正交对角化矩阵 - 可正交对角化矩阵 [[可正交对角化算子|算子]] - **可正交对角化矩阵**是一个[[方阵]] $A$ 和[[对角矩阵]] $D$ [[矩阵相似]], 并且 $P$ 为[[正交矩阵]]或[[酉矩阵]]满足 $PDP^T\text\ \text{or}\ PDP^*=PAP^{-1}=D$. 其中 $P$ 列向量是 $A$ 的[[特征值和特征向量|特征向量]] $\mathbf{v_i}$ , $D$ 主对角线上的元素是 $A$ 的[[特征值和特征向量|特征值]] $\lambda_i$ . [[谱定理]]说明实数对称矩阵或者复数正规矩阵可正交对角化. 首先求 $A$ 的特征值及特征向量, 并标准化, 然后用特征值构造对角矩阵 $D$, 用标准正交特征向量构造正交矩阵或酉矩阵 $P$ - $[T]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{bmatrix}$ >[!example]- 可正交对角化矩阵 >- 可正交对角化矩阵 > - $\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=1$, $\mathbf{v}_1=(-1,1)$ > - $\lambda_2=3$, $\mathbf{v}_2=(1,1)$