##### 可正交对角化算子 - 可正交对角化算子 [[可正交对角化矩阵|矩阵]] - **可正交对角化算子**是指[[线性算子]]关于某个[[正交基|标准正交基]]具有[[对角矩阵]], 即算子矩阵与对角矩阵[[矩阵相似|相似]]. [[谱定理]]说明实数自伴算子或者复数正规算子可正交对角化 - $[T]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{bmatrix}$ | | 算子可对角化 | 算子可若尔当化 | | ---------------------- | ---------------------------- | ------------------------------ | | [[特征值的重数]] | 代数重数 = 几何重数 | 代数重数 > 几何重数 | | [[特征值和特征向量\|特征向量]] | 特征向量构成基<br>存在 $n$ 个线性无关的特征向量 | 特征向量不构成基<br>不存在 $n$ 个线性无关的特征向量 | | [[特征空间]] | 特征空间是直和分解 | 特征空间不是直和分解 | | [[特征值和广义特征向量\|广义特征向量]] | 不需要, 特征向量就是广义的 | 需要, 广义特征向量构成基 | | [[最小多项式]] | 最小多项式无重根<br> | 最小多项式有重根 | | [[复向量空间]] | 不一定可对角化 | 一定可若尔当化 | | [[谱定理]] | 一定正交对角化 | 一定正交对角化 |