##### 可积函数空间 - 可积函数空间 - **可积函数空间** $L^p(X, \mu)$ 是由所有 $p$ 次[[勒贝格积分|勒贝格可积函数]]组成的[[函数空间]], 定义在[[测度空间]] $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 上, 其中 $\mu$ 是测度, $\mathcal{A}$ 是 σ-代数. $L^p(X, \mu)$ 是[[赋范向量空间]], 其[[范数]]由函数绝对值的 $p$ 次方积分的 $1/p$ 次方定义. 对于可测函数 $f: X \to \mathbb{C}$, 若满足 $\|f\|_p < \infty$, 则 $f \in L^p(X, \mu)$. 当 $1 \leq p \leq \infty$ 时, $L^p$ 空间是[[巴拿赫空间]], 特别地 $L^2$ 空间是[[希尔伯特空间]], 配备内积 - $\displaystyle \|f\|_p = \left( \int_X |f(x)|^p \text{d}\mu(x) \right)^{1/p} < \infty$ - $L^1$ 空间, 函数绝对可积 - $\displaystyle\|f\|_1 = \int_X |f(x)| \text{d}\mu(x) < \infty$ - $L^2$ 空间, 函数平方可积 - $\displaystyle\|f\|_2 = \sqrt{ \int_X |f(x)|^2 \text{d}\mu(x) } < \infty$ - $\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(x){\overline {g(x)}} \mathrm{d} \mu (x)$ - $L^\infty$ 空间, 函数本质有界, 一致范数 - $\displaystyle \|f\|_\infty = \text{ess}\sup_{x \in X} |f(x)| < \infty$