##### 可解群 - 可解群 - **可解群**是可以通过一系列简单步骤分解的[[群]]. 群 $G$ 称为可解群, 如果存在一个[[正规子群]]序列, 满足每个[[商群]] $G_i / G_{i+1}$ 是[[交换群]], 并且最终到达只含单位元的平凡群 $\{ e \}$ - $G = G_0 \trianglerighteq G_1 \trianglerighteq G_2 \trianglerighteq \cdots \trianglerighteq G_n = \{ e \},$ >[!example]- 可解群 >- 对称群 $G = S_3 = \{ e, (12), (13), (23), (123), (132) \}$, 阶为 $6$ > - 正规子群序列 > - $S_3 \trianglerighteq A_3 \trianglerighteq \{ e \}$ > - 其中 $A_3 = \{ e, (123), (132) \}$ 是正规子群, 因 $[S_3:A_3] = 2$ > - 商群 > - $S_3 / A_3 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 交换群 > - $A_3 / \{ e \} \cong A_3 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 交换群 > - 结论 > - $S_3$ 是可解群, 长度为 $2$ >- 交错群 $G = A_5$, 阶为 $60$ > - 正规子群序列 > - $A_5$ 是单群, 即没有非平凡正规子群, 无法构造正规序列使得商群为阿贝尔群, 因为 $A_5 / \{ e \} \cong A_5$ 非交换群 > - 结论 > - $A_5$ 不可解